こんにちは、リユナです。
今日のOMC206に出て、4位になる大活躍をしました！
実は今日の整数論の授業がちょっと遅く終わって、少しペナルティがあったんですが、それに負けず素晴らしい成果を出て嬉しいです！
では、今日の後記始めます！
A(1分)
9の倍数になるためにはすべての桁の総和が9の倍数になればよい。あと、11の倍数は、偶数番目の桁と奇数番目の桁それぞれの総和の差が11の倍数になればよい。前者はnが9の倍数、後者はnが偶数の時成立するので答えは18です。
E(25分、1ペナ、FA)
前に競プロの作問をしながらほぼ同じことを勉強したことがあって助かりました！運がよかったんですね。
垂直についている2点をまとめて順番対で考えた方が楽です。 大体そんな風に漸化式を求めて、とにかくうまくやれば最終的に式が出てくるんですが、意外とそこで1237で割った余りを手に入れるのがなかなか難しかったです。
私は初めてのことを固定させていて、最後に6をかけることを忘れて1ペナでした。🥲
B(6分)
幾何に見えますがあんまり幾何的な要素が多くなかったので考えより早く解けました。A1A2Pが二等辺三角形になるのがポイントでしたね。角二つの値を未知数として式を整理すると範囲が出て、あれを満足するnは4以上10未満になりました。が。nが4になればPとQが辺の上に乗るのでだめです。5+6+7+8+9=35。
C(6分、1ペナ)
コインが合わせて14個あります。これらをまず配って、みんなに“配ったコインの数＋1”の枚数の1万円札を配れば1万円札はちょうど1個残ります。これを誰に配るかを考えたらいいです。
私は初めて「五郎君」を見なくて、“あ、四人あるんだな”と思って1ペナしました😂
D(10分、2ペナ)
FAできて嬉しいです！実は、昨日解いた競プロの問題と使われるアイデアが同じで助かりました。
7!=2^4*3^2*5*7で、ある約数dを、square-free(つまり、1以外の平方数で割り切ってない数)な数pと正の整数qに対して、pq^2として表せると、集合の中でpが同じ数字が二つ以上あればだめです。pで出来る数字は2, 3, 5, 7それぞれが一回かけられるかないかの場合を全部数えたら2^4=16になります。つまりn=16です。
後は総積ですね。基本的にpq^2の形にできると言って、pは1, 2, 3, 5, 7, 2*3, 2*5, 2*7, 3*5, 3*7, 5*7, 2*3*5, 2*3*7, 2*5*7, 3*5*7, 2*3*5*7の中の一つで、それは絶対変わりません。問題はqですね。7!の約数の中の平方数は1, 4, 9, 16, 36, 144の六つがありますが、特定何個の数字にはq^2として使わないこともあります。例えば、16=2^4ですが、7!にも素因数2は四つしかないので、もう2を含んでいる要素には16や144はかけられません。まあそんな風にしたら、総積の総和が計算できますね。2^16*3^16*5^24*7^16です。残りは約数の数を計算すればばいいです。
F(20分、1ペナ)
見た目より難しい過ぎて面白かった問題。まずは(a_n+a_n+2)/(a_n+1)の値が一定なのでa_3、a_4だけ整数になればそのあとは問題ないです。
a_3を考えたら、まずkを3で割った余りが1になることを確認できます。同じようにして、a_4を割り出す時にはkを64で割った余りが9になるのを確認できます。中国の剰余定理によって、k=192a+73の形になればいいんです。
ただし、ここに罠が一つあります。kが3913だったら、a_nが負数になることが起きます。すなわち3913を抜いて、73から3721までの総和を計算します。私は初めてはこれを気づけなかったので1ペナしました😢
総平
元々無印が一番得意だったし、しかも幾何がほぼないセットだったので私にとっては本当に有利なセットでした。しかも今回は私がある程度知っている内容が出るなど、運がすごくついてくれました。だが、ペナが少なくなかったので順位がちょっと下がったのは惜しいですね。ペナが2つだけ減ると1位になってたかもしれませんので、それがちょっと惜しかったです。
でも今までの中の歴代最高の成績だったので嬉しいです！問題は全部面白かったですが、特に最後のFの接近が面白かったんです！
おまけ
もうすぐで入黄です！多分次回やその次にできると思います！これからも頑張ります！
